Intégrale d'une fonction continue et positive : aire sous la courbe, lien avec les primitives

En 30 secondes

• Intégrale de a à b de f(x)dx = aire sous la courbe (f continue positive).
• Si F est une primitive de f : intégrale = F(b) moins F(a).
• Rectangle → largeur × hauteur. Triangle → (1/2) × base × hauteur. Les deux méthodes doivent coïncider.

Ce que tu sauras faire

• Interpréter l'intégrale d'une fonction continue et positive comme une aire sous la courbe
• Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive de la fonction
• Vérifier un calcul d'intégrale en comparant primitive et aire géométrique

Les mots à connaître

Intégrale

le nombre noté intégrale de a à b de f(x)dx, qui mesure l'aire entre la courbe d'une fonction continue et positive, l'axe des abscisses, et les droites verticales x égal à a et x égal à b.

Primitive d'une fonction

une fonction F dont la dérivée est égale à f sur un intervalle donné : pour tout x de cet intervalle, F'(x) égal à f(x).

Fonction continue

une fonction dont la courbe représentative se trace sans lever le crayon, sans saut ni interruption, sur l'intervalle considéré.

Le piège classique

Oublier que l'interprétation en aire n'est valable, telle que présentée dans cette fiche, que pour une fonction continue et positive sur l'intervalle considéré.

L'astuce

Intégrale de f continue positive sur [a;b] = aire sous la courbe. Se calcule avec une primitive F : F(b) moins F(a).