Positions relatives de droites et de plans ; intersections dans l'espace

En 30 secondes

• Deux droites de vecteurs directeurs colinéaires sont parallèles ; sinon, elles sont sécantes (un point commun) ou non coplanaires (gauches).
• Une droite et un plan sont parallèles si le produit scalaire de leur vecteur directeur et de leur vecteur normal vaut 0, sécants sinon.
• Deux plans de vecteurs normaux colinéaires sont parallèles ; sinon, ils sont sécants selon une droite.

Ce que tu sauras faire

• Déterminer si deux droites de l'espace sont parallèles, sécantes ou non coplanaires, à partir de leurs vecteurs directeurs.
• Déterminer si une droite et un plan sont parallèles ou sécants, à partir du produit scalaire entre vecteur directeur et vecteur normal.
• Déterminer si deux plans sont parallèles ou sécants, à partir de leurs vecteurs normaux.

Les mots à connaître

Vecteur (de l'espace)

un objet mathématique qui, dans l'espace, se donne par trois coordonnées (x ; y ; z) dans un repère.

Vecteur directeur (d'une droite) et vecteur normal (à un plan)

le vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul u qui indique la direction de cette droite ; le vecteur normal à un plan est un vecteur non nul n, orthogonal à tout vecteur du plan.

Orthogonal, orthogonaux

qualifie deux vecteurs, ou une droite et un vecteur, perpendiculaires entre eux (produit scalaire nul) ; deux plans sont orthogonaux si leurs vecteurs normaux sont eux-mêmes orthogonaux.

Le piège classique

Croire que deux droites de vecteurs directeurs non colinéaires sont automatiquement sécantes, en oubliant le cas des droites non coplanaires (gauches).

L'astuce

Deux vecteurs directeurs colinéaires signifient des droites parallèles ; deux vecteurs directeurs non colinéaires n'excluent pas le cas des droites non coplanaires (gauches).