Représentation paramétrique d'une droite de l'espace

En 30 secondes

• Une droite de l'espace se détermine par un point A et un vecteur directeur non nul u.
• Sa représentation paramétrique est x égal à xA plus ta, y égal à yA plus tb, z égal à zA plus tc, avec t réel.
• Un point appartient à la droite si une même valeur de t vérifie les trois équations à la fois.

Ce que tu sauras faire

• Écrire une représentation paramétrique d'une droite de l'espace à partir d'un point et d'un vecteur directeur.
• Déterminer si un point donné appartient à une droite à partir de sa représentation paramétrique.
• Déterminer un vecteur directeur d'une droite définie par deux points.

Les mots à connaître

Repère (de l'espace)

un système de trois axes gradués, non coplanaires et sécants en un même point (l'origine), qui permet de repérer tout point de l'espace par trois coordonnées (x ; y ; z).

Vecteur (de l'espace)

un objet mathématique qui, dans l'espace, se donne par trois coordonnées (x ; y ; z) dans un repère.

Vecteur directeur (d'une droite)

un vecteur non nul u(a ; b ; c) qui indique la direction d'une droite. Tout autre vecteur qui dirige la même droite lui est colinéaire.

Le piège classique

Vérifier une seule équation avec le t trouvé et conclure trop vite que le point appartient à la droite.

L'astuce

Une représentation paramétrique n'est jamais unique : un autre point de la droite ou un vecteur directeur colinéaire donne une représentation différente, mais tout aussi valable.