Vecteurs de l'espace : colinéarité et coplanarité de vecteurs

En 30 secondes

• Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que les trois coordonnées de v valent k fois celles de u.
• Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que w soit égal à a fois u plus b fois v.
• Vérifie toujours les trois coordonnées (colinéarité) ou les trois équations (coplanarité) avant de conclure.

Ce que tu sauras faire

• Déterminer si deux vecteurs de l'espace sont colinéaires à partir de leurs coordonnées.
• Déterminer si trois vecteurs de l'espace sont coplanaires à partir de leurs coordonnées.
• Justifier une réponse de colinéarité ou de coplanarité en résolvant un système d'équations.

Les mots à connaître

Vecteur (de l'espace)

un objet mathématique qui, dans l'espace, se donne par trois coordonnées (x ; y ; z) dans un repère ; deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs trois coordonnées sont égales une à une.

Repère de l'espace

une origine et trois axes qui permettent de donner à chaque vecteur de l'espace ses trois coordonnées (x ; y ; z).

Coordonnées (x ; y ; z)

les trois nombres qui caractérisent complètement un vecteur de l'espace dans un repère donné.

Le piège classique

Chercher un réel k valable pour une seule coordonnée et conclure trop vite à la colinéarité, sans vérifier les deux autres coordonnées.

L'astuce

Pour la colinéarité, vérifie toujours le même réel k sur les trois coordonnées, jamais une seule ou deux seulement.