Décomposer un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires

En 30 secondes

• Si u et v sont deux vecteurs non colinéaires, tout vecteur w du plan se décompose de façon unique en a×u + b×v.
• Pour vérifier une décomposition, calcule les coordonnées de a×u et de b×v séparément, puis additionne-les coordonnée par coordonnée.
• Deux vecteurs colinéaires ne permettent jamais de décomposer un vecteur qui sort de leur direction commune.

Ce que tu sauras faire

• Tu sauras reconnaître que deux vecteurs non colinéaires permettent d'atteindre tout vecteur du plan par une combinaison linéaire.
• Tu sauras décomposer un vecteur donné en combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires, graphiquement puis par le calcul des coordonnées.
• Tu sauras vérifier qu'une décomposition proposée est correcte en calculant les coordonnées de la combinaison linéaire.

Les mots à connaître

Vecteur

un objet mathématique caractérisé par trois éléments : une direction, un sens et une longueur appelée norme. Il est souvent représenté par une flèche allant d'un point de départ à un point d'arrivée.

Direction (d'un vecteur)

la droite qui porte la flèche d'un vecteur, ou toute droite parallèle à celle-ci.

Sens (d'un vecteur)

l'orientation de la flèche d'un vecteur le long de sa direction, du point de départ vers le point d'arrivée.

Le piège classique

Confondre décomposition et simple somme : oublier de multiplier chaque vecteur par son coefficient avant d'additionner.

L'astuce

Décomposer un vecteur, c'est retrouver combien de fois il faut avancer ou reculer dans chacune des deux directions de référence pour arriver au bon endroit.