Colinéarité de deux vecteurs (déterminant) : caractériser l'alignement de points et le parallélisme de droites

En 30 secondes

• Deux vecteurs u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant x×y′ − x′×y est nul.
• Trois points A, B et C sont alignés si le déterminant des vecteurs AB et AC est nul.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si le déterminant des vecteurs AB et CD est nul.

Ce que tu sauras faire

• Tu sauras calculer le déterminant de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées.
• Tu sauras utiliser ce déterminant pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires.
• Tu sauras utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour démontrer que trois points sont alignés, ou que deux droites sont parallèles.

Les mots à connaître

Vecteur

un objet mathématique caractérisé par trois éléments : une direction, un sens et une longueur appelée norme. Il est souvent représenté par une flèche allant d'un point de départ à un point d'arrivée.

Repère (du plan)

un ensemble formé de deux axes gradués qui se coupent en un point appelé origine, et qui permet de désigner tout point du plan par un couple de deux nombres, ses coordonnées.

Coordonnées (d'un point)

le couple de deux nombres (abscisse ; ordonnée) qui repère la position d'un point dans le plan de façon unique.

Le piège classique

Inverser l'ordre des coordonnées dans la formule du déterminant : calculer x×x′ − y×y′ au lieu de x×y′ − x′×y.

L'astuce

Retiens la formule du déterminant « en croix » : abscisse du premier vecteur × ordonnée du second, moins abscisse du second × ordonnée du premier.