Utiliser les variations d'une fonction de référence pour résoudre une équation ou une inéquation

En 30 secondes

• Sur un intervalle où une fonction de référence est croissante : f(x) ≤ f(a) revient à x ≤ a (même sens).
• Sur un intervalle où une fonction de référence est décroissante : f(x) ≤ f(a) revient à x ≥ a (sens inversé).
• Sur un intervalle où une fonction de référence garde un même sens de variation, une équation f(x) = k admet au plus une solution.

Ce que tu sauras faire

• Tu sauras utiliser le sens de variation d'une fonction de référence pour affirmer qu'une équation f(x) = k admet au plus une solution sur un intervalle donné.
• Tu sauras résoudre une inéquation du type f(x) ≤ k ou f(x) ≥ k, où f est une fonction de référence, en transformant l'inégalité sur les images en une inégalité sur les nombres de départ.
• Tu sauras adapter le sens de l'inégalité selon que la fonction de référence utilisée est croissante ou décroissante sur l'intervalle considéré.

Les mots à connaître

Fonction de référence

une fonction très utilisée (fonction carré, fonction inverse, fonction racine carrée…) dont le sens de variation et la courbe sont connus à l'avance, et qui sert de modèle pour étudier d'autres situations.

Fonction carré

la fonction qui associe à un nombre son carré ; elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Fonction inverse

la fonction qui associe à un nombre non nul l'inverse de ce nombre ; elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[, séparément sur chacun de ces deux intervalles.

Le piège classique

Oublier de vérifier sur quel intervalle la fonction de référence est croissante ou décroissante avant d'appliquer la règle de conservation ou d'inversion de l'ordre : la fonction carré, par exemple, ne se comporte pas de la même façon sur ]−∞;0] et sur [0;+∞[.

L'astuce

Croissante = même sens pour l'inégalité. Décroissante = sens inversé pour l'inégalité.