Dérivées des fonctions sinus et cosinus : (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x ; étude du sens de variation

En 30 secondes

• (sin x)' égal à cos x ; (cos x)' égal à −sin x — seule la dérivée de cosinus porte un signe moins.
• Le signe de la dérivée donne le sens de variation : positive ou nulle → croissante ; négative ou nulle → décroissante.
• Un extremum local apparaît quand la dérivée s'annule EN CHANGEANT de signe, jamais sinon.

Ce que tu sauras faire

• Connaître les dérivées des fonctions sinus et cosinus : (sin x)' égal à cos x, (cos x)' égal à −sin x.
• Utiliser le signe de la dérivée pour établir le tableau de variations de la fonction sinus ou de la fonction cosinus sur un intervalle donné.
• Justifier la position d'un extremum local de sinus ou de cosinus à partir du changement de signe de sa dérivée.

Les mots à connaître

Dérivée (d'une fonction)

une fonction qui donne, en chaque point, la pente de la courbe de la fonction de départ ; elle sert à étudier le sens de variation de la fonction.

Fonction sinus

la fonction, notée sin, qui associe à un réel x la deuxième coordonnée (la position verticale) du point correspondant sur le cercle trigonométrique.

Fonction cosinus

la fonction, notée cos, qui associe à un réel x la première coordonnée (la position horizontale) du point correspondant sur le cercle trigonométrique.

Le piège classique

Confondre les deux dérivées et écrire (cos x)' égal à sin x (en oubliant le signe moins), au lieu de (cos x)' égal à −sin x.

L'astuce

Retiens le duo par contraste : (sin x)' égal à cos x (SANS signe moins) ; (cos x)' égal à −sin x (AVEC signe moins) — c'est cosinus qui porte le moins, pas sinus.