Équations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a

En 30 secondes

• cos x = cos a a pour solutions x = a + k×2π ou x = −a + k×2π (opposé).
• sin x = sin a a pour solutions x = a + k×2π ou x = π−a + k×2π (supplémentaire).
• k est un entier relatif quelconque, positif ou négatif : on l'ajuste pour ramener chaque solution dans l'intervalle demandé.

Ce que tu sauras faire

• Connaître les deux familles de solutions générales de l'équation cos x = cos a.
• Connaître les deux familles de solutions générales de l'équation sin x = sin a.
• Résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle donné en choisissant les valeurs de k adaptées.

Les mots à connaître

Équation trigonométrique

une équation dans laquelle l'inconnue x est un angle, qui apparaît à l'intérieur d'une fonction sinus ou cosinus (comme cos x = cos a ou sin x = sin a).

Solution (d'une équation)

toute valeur de l'inconnue x qui rend l'égalité vraie une fois remplacée dans l'équation.

Famille de solutions

un ensemble de solutions d'une équation trigonométrique qui partagent la même expression générale (par exemple x = a + k×2π, pour k entier relatif quelconque). Une équation comme cos x = cos a ou sin x = sin a possède exactement deux familles de solutions.

Le piège classique

Oublier l'une des deux familles de solutions : ne donner que x = a + k×2π et oublier x = −a + k×2π (cosinus) ou x = π−a + k×2π (sinus).

L'astuce

Pour ne jamais confondre les deux formules, retiens : cosinus → opposé (−a) ; sinus → supplémentaire (π−a).