Formules d'addition et de duplication (cos(a+b), sin(a+b), cos(2a), sin(2a))

En 30 secondes

• cos(a+b) égal à cos a cos b − sin a sin b ; cos(a−b) égal à cos a cos b + sin a sin b (signes inversés).
• sin(a+b) égal à sin a cos b + cos a sin b ; sin(a−b) égal à sin a cos b − cos a sin b.
• cos(2a) a trois formes équivalentes : cos²a−sin²a, 2cos²a−1, 1−2sin²a ; sin(2a) égal à 2 sin a cos a.

Ce que tu sauras faire

• Connaître les quatre formules d'addition : cos(a+b), cos(a−b), sin(a+b) et sin(a−b).
• Connaître les trois formes équivalentes de la formule de duplication de cos(2a), et la formule de sin(2a).
• Utiliser les formules d'addition pour calculer la valeur exacte du cosinus ou du sinus d'un angle obtenu comme somme ou différence de deux angles remarquables.

Les mots à connaître

Formule d'addition

une formule qui donne le cosinus ou le sinus de la somme ou de la différence de deux angles a et b, à partir des cosinus et des sinus de a et de b pris séparément.

Formule de duplication

une formule qui donne le cosinus ou le sinus du double d'un angle (2a), obtenue en appliquant une formule d'addition au cas particulier où les deux angles sont égaux (a et a).

Cosinus

la fonction, notée cos, qui associe à un angle x la première coordonnée (la position horizontale) du point correspondant sur le cercle trigonométrique.

Le piège classique

Croire que le signe de la formule suit toujours celui de l'angle composé : c'est vrai pour sin(a+b)/sin(a−b), mais c'est l'INVERSE pour cos(a+b)/cos(a−b) — cos(a+b) contient un moins, cos(a−b) contient un plus.

L'astuce

Pour ne jamais confondre les signes : cos(a+b) et cos(a−b) ont des signes INVERSÉS l'un de l'autre, alors que sin(a+b) et sin(a−b) suivent le signe attendu.