Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

En 30 secondes

• Modèle exponentiel : f(t) égal à A multiplié par exp(kt), avec A la valeur initiale et k le taux.
• f(0) égal à A car exp(0) égal à 1 ; k positif donne une croissance, k négatif une décroissance.
• Quand t augmente de 1, la valeur est multipliée par exp(k), et elle reste toujours strictement positive.

Ce que tu sauras faire

• Reconnaître un modèle exponentiel de la forme f(t) égal à A multiplié par exp(kt) et identifier la valeur initiale A.
• Déterminer si le modèle décrit une croissance ou une décroissance selon le signe du taux k.
• Calculer une valeur du modèle et interpréter le facteur multiplicatif exp(k) entre deux instants successifs.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

la fonction, notée exp, telle que exp(0) égal à 1 et qui vérifie exp(a plus b) égal à exp(a) multiplié par exp(b) pour tous réels a et b : c'est elle qui sert à construire les modèles de croissance et de décroissance de cette fiche.

Nombre e

le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, c'est-à-dire e égal à exp(1). Sa valeur exacte n'est pas un nombre simple ; une valeur approchée est e ≈ 2,718.

Modèle exponentiel

une fonction du temps de la forme f(t) égal à A multiplié par exp(kt), utilisée pour décrire une grandeur qui évolue en étant à chaque instant multipliée par un même facteur. A et k sont des nombres fixés.

Le piège classique

Confondre la valeur initiale avec le taux : dans A multiplié par exp(kt), A est la valeur de départ et k gouverne la vitesse d'évolution.

L'astuce

Dans A multiplié par exp(kt), A est la valeur de départ (f(0) égal à A) et le signe de k décide croissance (positif) ou décroissance (négatif).