Propriétés algébriques de l'exponentielle

En 30 secondes

• Relation fonctionnelle : exp(a plus b) égal à exp(a) multiplié par exp(b).
• On en déduit exp(moins a) égal à 1 divisé par exp(a), exp(a moins b) égal à exp(a) divisé par exp(b), et exp(na) égal à exp(a) puissance n.
• Avec la notation e puissance x, ce sont les règles habituelles des puissances : on additionne les exposants pour un produit.

Ce que tu sauras faire

• Connaître la relation fonctionnelle exp(a plus b) égal à exp(a) multiplié par exp(b) et l'utiliser pour transformer une expression.
• En déduire les propriétés exp(moins a) égal à 1 divisé par exp(a), exp(a moins b) égal à exp(a) divisé par exp(b), et exp(na) égal à exp(a) puissance n.
• Utiliser la notation e puissance x pour exp(x) et calculer avec les puissances du nombre e.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

la fonction, notée exp, qui est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que exp'(x) égal à exp(x) pour tout x, et exp(0) égal à 1. On admet qu'une seule fonction vérifie ces deux conditions à la fois.

Nombre e

le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, c'est-à-dire e égal à exp(1). Sa valeur exacte n'est pas un nombre simple ; une valeur approchée est e ≈ 2,718.

Relation fonctionnelle

la propriété de base de l'exponentielle : pour tous réels a et b, exp(a plus b) égal à exp(a) multiplié par exp(b). Elle transforme une somme placée à l'intérieur de exp en un produit de deux exponentielles.

Le piège classique

Écrire exp(a plus b) égal à exp(a) plus exp(b) : l'exponentielle d'une somme est un PRODUIT, pas une somme.

L'astuce

Pour un PRODUIT d'exponentielles, on ADDITIONNE les exposants ; pour une PUISSANCE, on les MULTIPLIE : ne confonds pas les deux.