Dérivée de exp(u), équations et inéquations

En 30 secondes

• Dérivée : (exp(u))' égal à u prime multiplié par exp(u) ; on garde exp(u) et on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
• Équation : exp(A) égal à exp(B) équivaut à A égal à B ; exp(x) égal à k n'a de solution que si k est strictement positif.
• Inéquation : exp(A) plus petit que exp(B) équivaut à A plus petit que B, car l'exponentielle est strictement croissante.

Ce que tu sauras faire

• Dériver une fonction de la forme exp(u) à l'aide de la formule (exp(u))' égal à u prime multiplié par exp(u).
• Résoudre une équation du type exp(A) égal à exp(B) en utilisant que l'exponentielle conserve l'égalité.
• Résoudre une inéquation du type exp(A) plus petit que exp(B) en utilisant la stricte croissance de l'exponentielle.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

la fonction, notée exp, qui est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que exp'(x) égal à exp(x) pour tout x, et exp(0) égal à 1. On admet qu'une seule fonction vérifie ces deux conditions à la fois.

Dérivée

pour une fonction f, la dérivée, notée f prime, associe à chaque nombre x un nombre f'(x). La dérivée sert à étudier les variations de f (croissance ou décroissance). La dérivée de la fonction u est notée u prime.

Fonction dérivable

une fonction qui admet une dérivée en tout nombre où elle est définie. Pour une telle fonction u, on peut calculer sa dérivée u prime et l'utiliser dans la formule (exp(u))' égal à u prime multiplié par exp(u).

Le piège classique

Oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur : (exp(2x))' n'est pas exp(2x), mais 2 multiplié par exp(2x).

L'astuce

Pour dériver exp(u), garde exp(u) tel quel et multiplie par la dérivée de l'intérieur : (exp(u))' égal à u prime multiplié par exp(u).