La fonction exponentielle : définition et premières propriétés

En 30 secondes

• La fonction exponentielle exp est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que exp'(x) égal à exp(x) pour tout x, et exp(0) égal à 1.
• Le nombre e égal à exp(1) ≈ 2,718 ; exp(x) est toujours strictement positif, pour tout réel x.
• La tangente à la courbe de exp au point d'abscisse 0 a pour équation y égal à x plus 1.

Ce que tu sauras faire

• Connaître la définition de la fonction exponentielle : l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels égale à sa propre dérivée, qui vaut 1 en 0.
• Utiliser cette définition pour vérifier si une fonction donnée peut être, ou n'est pas, la fonction exponentielle.
• Connaître le nombre e (image de 1 par exp) et déterminer l'équation de la tangente à la courbe de exp au point d'abscisse 0.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

la fonction, notée exp, qui est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que exp'(x) égal à exp(x) pour tout x, et exp(0) égal à 1. On admet qu'une seule fonction vérifie ces deux conditions à la fois.

Fonction dérivable

une fonction pour laquelle le nombre dérivé existe en chacun de ses points. La fonction exponentielle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Dérivée

pour une fonction f, la dérivée de f, notée f prime, associe à chaque nombre x le nombre dérivé de f en ce point. Pour la fonction exponentielle, sa dérivée est elle-même.

Le piège classique

Confondre exp(0) égal à 1 avec exp(1) égal à e (mélanger les deux valeurs particulières).

L'astuce

Avant de conclure qu'une fonction est exp, vérifie les DEUX conditions de la définition, pas une seule.