Variations, limites et courbe de l'exponentielle

En 30 secondes

• La dérivée de l'exponentielle est exp(x), strictement positive : la fonction est strictement croissante sur l'ensemble des nombres réels.
• Limites : exp(x) tend vers 0 quand x tend vers moins l'infini, et vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini.
• La courbe reste au-dessus de l'axe horizontal, passe par le point de hauteur 1 en x égal à 0, et a l'axe horizontal pour asymptote côté négatif.

Ce que tu sauras faire

• Justifier que la fonction exponentielle est strictement croissante sur l'ensemble des nombres réels.
• Connaître les limites de exp(x) quand x tend vers moins l'infini et vers plus l'infini, et le tableau de variations.
• Utiliser la stricte croissance pour comparer et ranger des nombres de la forme exp(a).

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

la fonction, notée exp, qui est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que exp'(x) égal à exp(x) pour tout x, et exp(0) égal à 1. On admet qu'une seule fonction vérifie ces deux conditions à la fois.

Nombre e

le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire e égal à exp(1). Sa valeur exacte n'est pas un nombre simple ; une valeur approchée est e ≈ 2,718.

Dérivée

pour une fonction f, la dérivée, notée f prime, associe à chaque nombre x un nombre f'(x) qui donne le sens de variation de f. Quand f'(x) est strictement positif sur un intervalle, f est strictement croissante sur cet intervalle. Pour l'exponentielle, sa dérivée est elle-même : exp'(x) égal à exp(x).

Le piège classique

Croire que exp(x) peut valoir 0 pour des x très négatifs : la limite est 0, mais la valeur reste toujours strictement positive.

L'astuce

L'exponentielle conserve l'ordre : pour comparer exp(a) et exp(b), il suffit de comparer a et b.