Extremums locaux d'une fonction et problèmes d'optimisation

En 30 secondes

• Un extremum local se produit là où la dérivée s'annule en changeant de signe.
• Maximum : la dérivée passe du positif au négatif. Minimum : elle passe du négatif au positif.
• Optimisation : modéliser par une fonction, dériver, annuler la dérivée, vérifier le signe, conclure.

Ce que tu sauras faire

• Reconnaître un extremum local là où la dérivée s'annule en changeant de signe.
• Distinguer un maximum local d'un minimum local grâce au signe de la dérivée.
• Résoudre un problème d'optimisation en cherchant l'extremum d'une fonction.

Les mots à connaître

Nombre dérivé

le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) et lu « f prime de a », est le nombre qui indique à quelle vitesse f varie au point a. Il donne la pente de la courbe de f en ce point.

Fonction dérivée

la fonction dérivée de f, notée f', est la fonction qui à chaque valeur x associe le nombre dérivé de f en x. Son signe donne le sens de variation de f.

Extremum local

une valeur où la fonction atteint localement le plus haut ou le plus bas point. C'est un maximum local si la fonction y est plus haute qu'autour, un minimum local si elle y est plus basse qu'autour.

Le piège classique

Conclure à un extremum dès que la dérivée s'annule, sans vérifier qu'elle change de signe.

L'astuce

Deux temps : la dérivée s'annule, puis elle change de signe. Sans changement de signe, pas d'extremum.