Loi des grands nombres et inégalité de concentration

En 30 secondes

• L'inégalité de concentration majore la probabilité que X s'écarte de m d'au moins a par v divisé par a au carré, quelle que soit la loi de X.
• Appliquée à la moyenne Mn, elle donne un majorant v divisé par n et par a au carré, qui diminue quand n augmente : c'est la loi des grands nombres.
• Pour garantir un risque r, choisis n supérieur ou égal à v divisé par a au carré, le tout divisé par r.

Ce que tu sauras faire

• Appliquer l'inégalité de concentration (dite de Bienaymé-Tchebychev) pour majorer la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance.
• Appliquer cette inégalité à la moyenne Mn d'un échantillon pour illustrer la loi des grands nombres.
• Déterminer la taille minimale d'un échantillon garantissant un risque fixé à l'avance.

Les mots à connaître

Variable aléatoire

une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Espérance

le nombre qui représente la valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire, si l'expérience était répétée un grand nombre de fois.

Variance

un nombre qui mesure la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance.

Le piège classique

Oublier de diviser la variance v par n avant d'appliquer l'inégalité à la moyenne Mn, et utiliser directement v au lieu de v divisé par n.

L'astuce

Le majorant vaut toujours variance divisée par a au carré, jamais l'inverse : vérifie que tu divises bien par a au carré, pas par a seul.