Somme de n variables aléatoires indépendantes de même loi ; espérance et variance de la moyenne

En 30 secondes

• Pour n variables aléatoires indépendantes et de même loi, l'espérance de la somme Sn vaut n fois m, et sa variance vaut n fois v.
• L'espérance de la moyenne Mn reste toujours égale à m, mais sa variance vaut v divisé par n : elle diminue quand n augmente.
• Ces deux formules exigent que les n variables soient à la fois indépendantes et de même loi.

Ce que tu sauras faire

• Calculer l'espérance et la variance de la somme Sn de n variables aléatoires indépendantes de même loi.
• Calculer l'espérance et la variance de la moyenne Mn de ces n variables aléatoires.
• Expliquer pourquoi la variance de la moyenne diminue quand la taille n de l'échantillon augmente.

Les mots à connaître

Variable aléatoire

une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Variables aléatoires indépendantes et de même loi

n variables aléatoires telles que le résultat de l'une n'influence jamais la probabilité des valeurs prises par les autres, et telles que chacune suit exactement la même loi de probabilité, avec la même espérance et la même variance.

Somme Sn

la variable aléatoire égale à la somme des n variables aléatoires X1, X2, jusqu'à Xn : Sn égale X1 plus X2, et ainsi de suite jusqu'à Xn.

Le piège classique

Oublier que les formules de Sn et de Mn exigent l'indépendance ET la même loi pour les n variables aléatoires.

L'astuce

Pour la somme Sn : espérance égale n fois m, variance égale n fois v (si indépendantes). Deux multiplications par n, jamais de division.