Suites majorées, minorées, bornées et théorème de convergence monotone

En 30 secondes

• Suite majorée : un réel M que les termes ne dépassent jamais. Suite minorée : un réel m sous lequel les termes ne descendent jamais.
• Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.
• Théorème de convergence monotone : suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge (sans préciser la limite).

Ce que tu sauras faire

• Distinguer suite majorée, minorée et bornée
• Connaître le théorème de convergence monotone et ses conditions d'utilisation
• Utiliser une récurrence pour démontrer qu'une suite est majorée ou minorée

Les mots à connaître

Suite majorée, suite minorée

une suite majorée a tous ses termes inférieurs ou égaux à un même réel M (un majorant) ; une suite minorée a tous ses termes supérieurs ou égaux à un même réel m (un minorant).

Suite, terme

une suite est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers, notée (u_n) ; un terme de cette suite est l'une de ses valeurs, u_n étant le terme de rang n.

Rang

le numéro entier n qui repère la position d'un terme dans une suite : u_n désigne le terme de rang n. L'expression « à partir du rang p » désigne le point de départ à partir duquel une propriété devient vraie pour tous les rangs suivants.

Le piège classique

Oublier une des deux conditions du théorème de convergence monotone (croissante ET majorée, ou décroissante ET minorée) : les deux sont indispensables ensemble.

L'astuce

Majorée = ne dépasse jamais une valeur M. Minorée = ne descend jamais sous une valeur m. Bornée = les deux à la fois.