Modélisation par équation différentielle : décroissance radioactive, charge et décharge d'un condensateur

En 30 secondes

• Décroissance radioactive : N'(t) égal à moins lambda fois N(t), donc N(t) égal à N zéro fois exponentielle de (moins lambda fois t).
• Temps de demi-vie : T égal à ln(2) divisé par lambda.
• Décharge d'un condensateur : u'(t) égal à moins u(t) divisé par tau, donc u(t) égal à U zéro fois exponentielle de (moins t divisé par tau).

Ce que tu sauras faire

• Reconnaître un modèle de décroissance radioactive ou de charge/décharge d'un condensateur comme une équation différentielle du type y' égal à a y ou y' égal à a y plus b
• Utiliser la résolution d'une équation différentielle pour déterminer l'expression de la grandeur étudiée en fonction du temps
• Calculer un temps caractéristique (temps de demi-vie, constante de temps) à partir du modèle obtenu

Les mots à connaître

Équation différentielle

une égalité entre une fonction inconnue (ici N ou u) et sa dérivée, que l'on cherche à résoudre en déterminant l'expression complète de cette fonction.

Modèle exponentiel

une manière de décrire l'évolution d'une quantité dans le temps à l'aide de la fonction exponentielle, obtenue en résolvant une équation différentielle du type y' égal à a y ou y' égal à a y plus b.

Décroissance radioactive

la diminution progressive du nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon d'un isotope au cours du temps (un isotope est une variante d'un élément chimique, caractérisée par un noyau dont chaque atome a une probabilité constante de se désintégrer par unité de temps).

Le piège classique

Confondre la constante de désintégration lambda (ou la constante de temps tau) avec le nombre a de l'équation différentielle générale : a égal à moins lambda (ou moins 1 divisé par tau), pas lambda (ou tau) directement.

L'astuce

Repérer si le contexte physique est une décroissance radioactive (constante lambda) ou une décharge de condensateur (constante de temps tau) : cela indique directement le signe et la nature du nombre a de l'équation différentielle.