Équations différentielles y' égal à a y et y' égal à a y plus b : résolution générale et condition initiale

En 30 secondes

• Solutions de y' égal à a y : y(x) égal à C fois exponentielle de (a x), pour C réel quelconque.
• Solutions de y' égal à a y plus b (a non nul) : y(x) égal à C fois exponentielle de (a x), moins b divisé par a.
• Une condition initiale (souvent y(0)) détermine la constante C et choisit une unique solution.

Ce que tu sauras faire

• Reconnaître une équation différentielle du type y' égal à a y ou y' égal à a y plus b
• Déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle y' égal à a y, puis y' égal à a y plus b
• Déterminer l'unique solution vérifiant une condition initiale donnée

Les mots à connaître

Équation différentielle

une égalité entre une fonction inconnue y et sa dérivée y', que l'on cherche à résoudre en déterminant toutes les fonctions y qui la vérifient.

Solution d'une équation différentielle

une fonction y, dérivable sur un intervalle, qui vérifie l'égalité de l'équation différentielle pour tout x de cet intervalle.

Dérivée

une fonction qui mesure, en chaque point, la vitesse à laquelle la fonction étudiée augmente ou diminue.

Le piège classique

Confondre la solution d'une équation différentielle y' égal à a y (exponentielle pure) avec celle de y' égal à a y plus b (exponentielle décalée d'une constante moins b divisé par a). La présence du terme b change la forme des solutions.

L'astuce

Repérer d'abord si l'équation est du type y' égal à a y (pure) ou y' égal à a y plus b (avec un terme constant supplémentaire) : la présence de b change la forme de la solution générale.