Primitives par lecture inverse de la dérivation : motifs u' fois exponentielle de u, u' divisé par u, u' fois u puissance n

En 30 secondes

• Motif u'(x) fois exponentielle de u(x) : primitive = exponentielle de u(x).
• Motif u'(x) divisé par u(x) (u strictement positive) : primitive = logarithme népérien de u(x).
• Motif u'(x) fois u(x) puissance n (n différent de moins 1, u non nulle sur I si n négatif) : primitive = u(x) puissance (n plus 1), divisé par (n plus 1).

Ce que tu sauras faire

• Reconnaître, dans l'écriture d'une fonction, un motif de primitive composée : u' fois exponentielle de u, u' divisé par u, ou u' fois u puissance n
• Déterminer une primitive d'une fonction composée en appliquant le motif reconnu et en ajustant un facteur constant manquant
• Vérifier une primitive obtenue en calculant sa dérivée et en la comparant à la fonction de départ

Les mots à connaître

Primitive d'une fonction

une fonction F, dérivable sur un intervalle, dont la dérivée est égale à la fonction f étudiée sur ce même intervalle : pour tout x de l'intervalle, la dérivée de F en x est égale à f(x).

Fonction composée

une fonction obtenue en appliquant une fonction extérieure (exponentielle, logarithme népérien, ou puissance n) au résultat d'une fonction u, notée ici u(x) : par exemple, exponentielle de u(x) applique l'exponentielle au résultat de u(x). Un motif de primitive composée est un modèle type de cette écriture (u'(x) fois exponentielle de u(x), u'(x) divisé par u(x), ou u'(x) fois u(x) puissance n) permettant de reconnaître directement une primitive, à condition que u soit dérivable. Il faut aussi que u soit strictement positive (motif logarithme népérien) et non nulle sur I (motif puissance, si n est négatif).

Dérivée

une fonction qui mesure, en chaque point, la vitesse à laquelle la fonction étudiée augmente ou diminue.

Le piège classique

Oublier de vérifier que u est bien dérivable sur l'intervalle étudié avant d'appliquer un motif. Il faut aussi la stricte positivité (motif logarithme népérien) et la non-nullité sur I (motif puissance, si n est négatif).

L'astuce

Repérer d'abord la fonction u « à l'intérieur » de l'exponentielle, du logarithme népérien, ou de la fraction étudiée : c'est la première chose à identifier avant tout calcul.