Résolution d'équations et d'inéquations avec logarithme ; applications aux échelles logarithmiques

En 30 secondes

• ln(x) égal à k équivaut à x égal à exponentielle de k, sur ]0 ; plus l'infini[.
• ln(A) égal à ln(B) équivaut à A égal à B ; ln(A) inférieur à ln(B) équivaut à A inférieur à B : le sens ne change jamais.
• Toujours vérifier que chaque argument de logarithme reste strictement positif dans la solution trouvée.

Ce que tu sauras faire

• Résoudre une équation faisant intervenir le logarithme népérien, en utilisant sa définition et ses propriétés algébriques
• Résoudre une inéquation avec logarithme népérien, en s'appuyant sur le fait que le logarithme népérien est strictement croissant
• Utiliser le logarithme népérien pour déterminer un temps ou un seuil dans un modèle d'évolution exponentielle

Les mots à connaître

Logarithme népérien

la fonction notée ln, définie sur ]0 ; plus l'infini[, qui est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout réel strictement positif x, ln(x) est l'unique réel y tel que exponentielle de y égal à x.

Fonction exponentielle

la fonction notée exponentielle de x, définie sur l'ensemble des nombres réels, dont le logarithme népérien est la fonction réciproque. Elle vaut 1 en x égal à 0, et on note e le nombre exponentielle de 1 (e environ égal à 2,718).

Argument

le nombre auquel s'applique le logarithme népérien, c'est-à-dire le x de ln(x).

Le piège classique

Oublier de vérifier que chaque argument d'un logarithme dans l'équation reste strictement positif : une solution qui rend un argument négatif ou nul doit être rejetée, même si elle vérifie l'équation « simplifiée ».

L'astuce

ln(x) égal à k équivaut à x égal à exponentielle de k : la définition du logarithme népérien suffit à résoudre toute équation simple de ce type.