Étude de la fonction logarithme népérien : variations, limites aux bornes, courbe représentative

En 30 secondes

• Le logarithme népérien est strictement croissant sur ]0 ; plus l'infini[ (dérivée 1 divisé par x, toujours positive).
• Limite en 0 : moins l'infini (asymptote verticale x égal à 0). Limite en plus l'infini : plus l'infini.
• La courbe passe par (1 ; 0) et (e ; 1) ; elle monte tout du long, sans jamais redescendre.

Ce que tu sauras faire

• Étudier le sens de variation de la fonction logarithme népérien à l'aide du signe de sa dérivée
• Déterminer les limites du logarithme népérien en 0 et en plus l'infini
• Dresser le tableau de variations et décrire la courbe représentative du logarithme népérien

Les mots à connaître

Logarithme népérien

la fonction notée ln, définie sur ]0 ; plus l'infini[, telle que pour tout réel strictement positif x, ln(x) est l'unique réel y vérifiant exponentielle de y égal à x.

Fonction exponentielle

la fonction notée exponentielle de x, définie sur l'ensemble des nombres réels, strictement croissante, qui transforme toute somme en produit (exponentielle de (a plus b) égal à exponentielle de a fois exponentielle de b) et qui vaut 1 en x égal à 0. On note e le nombre exponentielle de 1 (e environ égal à 2,718).

Sens de variation

l'indication de savoir si une fonction croît ou décroît lorsque x augmente sur un intervalle donné.

Le piège classique

Oublier que le logarithme népérien n'est défini que sur ]0 ; plus l'infini[ : une écriture contenant ln(x) n'a de sens que pour x strictement positif, ce qui restreint l'intervalle d'étude.

L'astuce

La dérivée du logarithme népérien associe à x le nombre 1 divisé par x : toujours positif sur ]0 ; plus l'infini[, donc toujours strictement croissant, sans exception.