Dérivée de ln(u) et croissances comparées (logarithme, puissances, exponentielle)

En 30 secondes

• La dérivée de ln(u) associe à x le nombre u'(x) divisé par u(x), pour u dérivable et strictement positive.
• Croissances comparées : exponentielle plus rapide que toute puissance de x, elle-même plus rapide que le logarithme népérien.
• Deux résultats à retenir : ln(x) divisé par x tend vers 0, et x fois ln(x) tend vers 0 (en 0 par valeurs strictement positives).

Ce que tu sauras faire

• Calculer la dérivée d'une fonction de la forme ln(u), avec u dérivable et strictement positive
• Connaître et utiliser les résultats de croissances comparées entre logarithme, puissances et exponentielle
• Déterminer une limite faisant intervenir une forme indéterminée grâce aux croissances comparées

Les mots à connaître

Logarithme népérien

la fonction notée ln, définie sur ]0 ; plus l'infini[, telle que pour tout réel strictement positif x, ln(x) est l'unique réel y vérifiant exponentielle de y égal à x.

Exponentielle

la fonction notée exponentielle de x, définie sur l'ensemble des nombres réels, strictement croissante, qui transforme toute somme en produit : exponentielle de (a plus b) égal à exponentielle de a fois exponentielle de b. Elle vaut 1 en x égal à 0.

Dérivée

une fonction qui mesure, en chaque point, la vitesse à laquelle la fonction étudiée augmente ou diminue.

Le piège classique

Appliquer la formule de dérivée de ln(u) sans vérifier que u est bien strictement positive sur l'intervalle étudié : la formule u'(x) divisé par u(x) suppose ln(u(x)) défini, donc u(x) strictement positif.

L'astuce

La dérivée de ln(u) associe à x le nombre u'(x) divisé par u(x) : ne jamais oublier le u'(x) au numérateur.