Position relative d'une courbe et de sa tangente selon la convexité

En 30 secondes

• Tangente en a : T(x) = f'(a)(x−a) + f(a).
• f convexe → f(x) ≥ T(x) partout. f concave → f(x) ≤ T(x) partout. Égalité exacte au point de tangence.
• Méthode : calculer g(x)=f(x)−T(x), factoriser, étudier le signe.

Ce que tu sauras faire

• Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point donné
• Étudier la position relative d'une courbe et d'une tangente à l'aide du signe d'une différence
• Utiliser la convexité d'une fonction pour établir une inégalité entre la fonction et sa tangente

Les mots à connaître

Tangente à une courbe et point de tangence

la tangente à une courbe est la droite qui touche cette courbe en un point donné (le point de tangence) et qui a localement la même direction que la courbe en ce point.

Équation d'une tangente

l'expression T(x) égal à f'(a) fois (x moins a) plus f(a), qui donne l'ordonnée de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Fonction convexe

une fonction dont la courbe représentative reste au-dessus de toutes ses tangentes sur un intervalle donné.

Le piège classique

Oublier le terme f(a) dans l'équation de la tangente et n'écrire que la partie f'(a) fois (x moins a).

L'astuce

Équation de la tangente en a : T(x) = f'(a)(x−a) + f(a). Ne jamais oublier le terme f(a).