Convexité d'une fonction et lien avec le sens de variation de la dérivée

En 30 secondes

• f convexe sur I : courbe au-dessus de ses tangentes, ⟺ f' croissante sur I.
• f concave sur I : courbe en dessous de ses tangentes, ⟺ f' décroissante sur I.
• Toujours étudier le sens de variation de f', jamais celui de f, pour conclure sur la convexité.

Ce que tu sauras faire

• Définir une fonction convexe et une fonction concave à partir de la position de la courbe par rapport à ses tangentes
• Relier la convexité d'une fonction au sens de variation de sa dérivée
• Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle à l'aide du sens de variation de sa dérivée

Les mots à connaître

Convexité

la propriété d'une fonction dont la courbe représentative reste entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle considéré.

Fonction convexe

une fonction dont la courbe représentative reste au-dessus de toutes ses tangentes sur un intervalle donné.

Fonction concave

une fonction dont la courbe représentative reste en dessous de toutes ses tangentes sur un intervalle donné.

Le piège classique

Confondre le sens de variation de f avec celui de sa dérivée f' : la convexité dépend du sens de variation de LA DÉRIVÉE, pas de la fonction elle-même.

L'astuce

Convexe = courbe AU-DESSUS de ses tangentes = dérivée CROISSANTE. Concave = EN DESSOUS = dérivée DÉCROISSANTE.