Démontrer une propriété numérique (parité, encadrement, divisibilité) à l'aide du calcul littéral

En 30 secondes

• Un nombre pair s'écrit 2k, un nombre impair s'écrit 2k+1 (k entier) : c'est le point de départ de toute démonstration de parité.
• Pour démontrer une divisibilité, factorise l'expression pour faire apparaître le diviseur demandé en facteur, et vérifie que l'autre facteur est bien un entier.
• Pour encadrer une expression, applique la MÊME opération aux trois membres de l'encadrement de départ — attention, multiplier par un nombre négatif inverse le sens des inégalités.

Ce que tu sauras faire

• Tu sauras démontrer qu'une expression littérale est toujours paire ou toujours impaire, en la mettant sous la forme 2k ou 2k+1.
• Tu sauras démontrer qu'une expression littérale est divisible par un entier donné, en la factorisant pour faire apparaître ce diviseur.
• Tu sauras encadrer une expression littérale entre deux valeurs, à partir d'un encadrement donné de la variable.
• Tu sauras rédiger une démonstration algébrique complète, qui se conclut par une phrase répondant explicitement à la question posée.

Les mots à connaître

Expression littérale

une expression mathématique qui contient au moins une lettre (comme x ou n), utilisée pour représenter un nombre inconnu ou variable.

Nombre pair

un entier qui s'écrit sous la forme 2k, avec k entier : il est divisible par 2, comme 14=2×7 (k=7).

Nombre impair

un entier qui s'écrit sous la forme 2k+1, avec k entier : il n'est pas divisible par 2, comme 15=2×7+1 (k=7).

Le piège classique

Conclure qu'une propriété est vraie après avoir testé un seul exemple numérique, sans démonstration algébrique valable pour tout entier n.

L'astuce

Avant de conclure qu'une propriété est vraie pour tout entier, vérifie que ta démonstration utilise bien une lettre (n, k...) et non un seul exemple numérique.