Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire

En 30 secondes

• Espérance E(X) : moyenne des valeurs de X pondérée par les probabilités — interprétation : gain moyen à long terme.
• Variance V(X) : moyenne pondérée des carrés des écarts à E(X). Formule pratique : E(X carré) moins le carré de E(X).
• Écart-type σ(X) : racine carrée de V(X), dans la même unité que X — mesure la dispersion autour de la moyenne.

Ce que tu sauras faire

• Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète à partir de sa loi de probabilité, et l'interpréter comme une valeur moyenne à long terme.
• Calculer la variance d'une variable aléatoire discrète, par la définition ou par la formule de calcul pratique.
• Calculer l'écart-type d'une variable aléatoire et l'interpréter comme une mesure de dispersion autour de l'espérance.

Les mots à connaître

Expérience aléatoire

une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Variable aléatoire

une fonction qui associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. On la note en général X. Une variable aléatoire est dite discrète lorsqu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs numériques.

Loi de probabilité (d'une variable aléatoire)

le tableau qui donne, pour chaque valeur possible de la variable aléatoire, la probabilité que la variable prenne exactement cette valeur.

Le piège classique

Oublier de pondérer chaque valeur ou chaque écart par sa probabilité, et calculer une simple moyenne arithmétique des valeurs de X au lieu d'une moyenne pondérée.

L'astuce

Ne calcule jamais une moyenne arithmétique simple des valeurs de X : l'espérance est TOUJOURS une moyenne pondérée par les probabilités.