Le théorème d'Al-Kashi et la formule d'aire d'un triangle avec le produit scalaire

En 30 secondes

• Théorème d'Al-Kashi : le carré du côté opposé à un angle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On soustrait deux fois leur produit multiplié par le cosinus de cet angle.
• Il généralise le théorème de Pythagore : pour un angle de 90 degrés (cosinus nul), on retrouve exactement Pythagore.
• Aire d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle qu'ils forment : un demi, multiplié par les deux côtés, multiplié par le sinus de cet angle.

Ce que tu sauras faire

• Démontrer, à partir du produit scalaire, le théorème d'Al-Kashi pour un triangle quelconque.
• Appliquer ce théorème pour calculer une longueur manquante quand on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment.
• Calculer l'aire d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle qu'ils forment.

Les mots à connaître

Vecteur

un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur appelée norme. Il est représenté par une flèche entre deux points ; on note vecteur AB le vecteur qui part de A pour aller vers B.

Norme (d'un vecteur)

la longueur d'un vecteur. La norme du vecteur AB est égale à la distance AB entre les deux points.

Produit scalaire

un nombre réel associé à deux vecteurs u et v, noté u · v. Il se calcule de deux façons équivalentes. La première utilise les coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé. La seconde utilise leurs normes et l'angle qu'ils forment : u · v est alors égal à la norme de u, multipliée par la norme de v, multipliée par le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.

Le piège classique

Oublier le signe moins devant le terme du produit scalaire dans le théorème d'Al-Kashi. La formule soustrait toujours ce terme, elle ne l'ajoute jamais.

L'astuce

Retiens la formule d'Al-Kashi comme « Pythagore, moins deux fois le rectangle des côtés fois le cosinus ». Quand l'angle vaut 90 degrés, ce terme disparaît et tu retrouves Pythagore.