Le produit scalaire de deux vecteurs : définition par l'angle et par projection

En 30 secondes

• Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v est égal au produit de leurs normes, multiplié par le cosinus de l'angle géométrique qu'ils forment.
• Il se calcule aussi par projection orthogonale : produit des longueurs AB et AH, avec un signe qui dépend du côté où se trouve le projeté H.
• Cas particuliers à connaître : produit scalaire nul si les vecteurs sont orthogonaux, égal au produit des normes s'ils sont colinéaires de même sens, opposé à ce produit s'ils sont colinéaires de sens contraires.

Ce que tu sauras faire

• Connaître la définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls à partir de leurs normes et du cosinus de l'angle géométrique qu'ils forment.
• Calculer un produit scalaire à l'aide de la projection orthogonale d'un vecteur sur la droite portant l'autre.
• Reconnaître les cas particuliers : vecteurs orthogonaux (produit scalaire nul), vecteurs colinéaires de même sens ou de sens contraires.

Les mots à connaître

Vecteur

un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur appelée norme, représenté par une flèche entre deux points ; on note vecteur AB le vecteur qui part de A pour aller vers B.

Norme (d'un vecteur)

la longueur d'un vecteur, toujours positive ou nulle ; la norme du vecteur AB, notée AB, est la longueur du segment [AB].

Produit scalaire

un nombre réel associé à deux vecteurs u et v, noté u · v, qui combine leurs normes et l'angle géométrique qu'ils forment. u · v est égal à la norme de u multipliée par la norme de v, multipliée par le cosinus de cet angle.

Le piège classique

Oublier de multiplier par le cosinus de l'angle, et calculer seulement le produit des deux normes.

L'astuce

Retiens la formule en un souffle : produit scalaire égal au produit des deux normes, multiplié par le cosinus de l'angle — jamais une addition, jamais le sinus.