Intersections de droites et de cercles : résolution de systèmes

En 30 secondes

• L'intersection de deux droites se trouve en résolvant leur système d'équations par substitution.
• L'intersection d'une droite et d'un cercle se trouve en substituant dans l'équation du cercle, ce qui donne une équation du second degré.
• Le signe du discriminant indique le nombre de points communs : positif, deux points (sécante) ; nul, un point (tangente) ; négatif, aucun point.

Ce que tu sauras faire

• Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites en résolvant le système de leurs deux équations par substitution.
• Déterminer les points d'intersection d'une droite et d'un cercle en substituant dans l'équation du cercle, puis en étudiant le discriminant de l'équation du second degré obtenue.
• Interpréter le signe du discriminant en termes de position relative entre une droite et un cercle : sécante, tangente, ou sans point commun.

Les mots à connaître

Équation cartésienne (d'une droite)

une égalité de la forme a x plus b y plus c égal à 0, vérifiée exactement par les points de cette droite, et par aucun autre point du plan.

Équation cartésienne (d'un cercle)

une égalité de la forme (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égal à r au carré, où (a, b) est le centre du cercle et r son rayon.

Centre (d'un cercle)

le point fixe à partir duquel tous les points du cercle sont situés à la même distance, cette distance étant le rayon.

Le piège classique

Oublier de vérifier le signe du discriminant avant de conclure sur le nombre de points communs : un discriminant strictement négatif signifie qu'il n'existe aucun point d'intersection réel, ce n'est pas une erreur de calcul à corriger.

L'astuce

Le mot-clé du chapitre : substituer, c'est remplacer. Isole x ou y dans une équation simple, puis remplace-le partout où il apparaît dans l'autre équation.