Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire pour les fonctions strictement monotones

En 30 secondes

• TVI : f continue sur [a;b] → toute valeur k entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois.
• Corollaire : f continue ET strictement monotone → la solution à f(x)=k est UNIQUE.
• Rédaction type : continuité + monotonie + k dans l'intervalle image [f(a) ; f(b)] → existence (et unicité).

Ce que tu sauras faire

• Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires et l'utiliser pour justifier l'existence d'une solution, y compris sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert à l'aide de limites aux bornes
• Utiliser le corollaire du théorème pour justifier l'existence ET l'unicité d'une solution
• Rédiger une démonstration d'existence et d'unicité à l'aide d'un tableau de variations

Les mots à connaître

Théorème des valeurs intermédiaires

si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) égal à k.

Corollaire

un résultat qui se déduit directement d'un théorème déjà démontré, sans démonstration supplémentaire longue.

Fonction continue (ensemble de définition)

une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon sur l'intervalle étudié, condition nécessaire pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ; l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction existe réellement — le théorème et son corollaire ne s'appliquent que dans cet ensemble.

Le piège classique

Conclure à l'unicité d'une solution en n'appliquant que le théorème des valeurs intermédiaires simple, sans avoir vérifié ni cité la stricte monotonie de la fonction.

L'astuce

Continuité seule = EXISTENCE d'une solution. Continuité + stricte monotonie = EXISTENCE ET UNICITÉ.