Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle

En 30 secondes

• f continue en a : la limite de f(x) en a existe ET vaut f(a).
• f continue sur un intervalle : continue en CHAQUE point de cet intervalle.
• Polynômes, racine carrée, exponentielle : continues sur leur ensemble de définition ; sommes, produits, quotients (diviseur non nul), composées de fonctions continues restent continues.

Ce que tu sauras faire

• Définir la continuité d'une fonction en un point à l'aide d'une limite
• Reconnaître qu'une fonction est continue sur un intervalle
• Justifier la continuité d'une fonction usuelle ou construite par somme, produit, quotient ou composée

Les mots à connaître

Continuité en un point

une fonction f est continue en un point a si la limite de f(x) quand x tend vers a existe et est égale à f(a).

Fonction continue

une fonction continue sur un intervalle est une fonction continue en chacun des points de cet intervalle, sans aucune exception.

Intervalle

un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, comme [0 ; +l'infini[ ou ]moins l'infini ; 3].

Le piège classique

Croire qu'une fonction continue sur un intervalle peut n'être continue qu'en certains points de cet intervalle, alors que la continuité sur un intervalle exige la continuité en CHAQUE point.

L'astuce

Continue en a = la limite de f(x) en a EXISTE et est ÉGALE à f(a). Les deux conditions comptent, pas une seule.