Permutations et factorielle ; combinaisons et coefficients binomiaux

En 30 secondes

• Permutation d'un ensemble à n éléments : n! façons de tous les ranger, l'ordre comptant.
• Combinaison de k éléments parmi n, sans ordre : coefficient binomial « k parmi n » égal à n! divisé par (k! multiplié par (n moins k)!).
• Rôles distincts → arrangement (ordre compte). Rôles identiques → combinaison (ordre indifférent, diviser par k!).

Ce que tu sauras faire

• Calculer le nombre de permutations d'un ensemble fini à l'aide de la factorielle
• Reconnaître une situation de dénombrement de combinaisons, où l'ordre ne compte pas
• Calculer un coefficient binomial et l'utiliser pour dénombrer des combinaisons

Les mots à connaître

Dénombrement

l'action de compter le nombre total de façons possibles de réaliser un choix, sans énumérer chaque possibilité une par une.

Factorielle

pour un entier naturel n, notée n!, le produit de tous les entiers de 1 à n ; on convient que 0! égal à 1.

Permutation

un rangement de TOUS les éléments d'un ensemble fini, chacun utilisé une seule fois, où l'ordre compte ; le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n!.

Le piège classique

Confondre permutation, qui utilise TOUS les éléments, avec combinaison, qui n'en choisit qu'une partie : la factorielle simple ne s'applique qu'à la permutation de tous les éléments d'un ensemble.

L'astuce

Permutation : TOUS les éléments, ordre compte, n!. Combinaison : une PARTIE des éléments, ordre indifférent, division par k! en plus.