Démontrer un alignement de points, un parallélisme ou la nature d'une figure à l'aide des coordonnées

En 30 secondes

• Trois points sont alignés si la somme des deux plus petites distances entre eux est égale à la plus grande.
• Un quadrilatère est un parallélogramme si ses deux diagonales ont le même milieu ; ses côtés sont alors parallèles deux à deux.
• Le piège le plus fréquent : comparer les distances ou les milieux séparément à un autre nombre, au lieu de les comparer directement entre eux.

Ce que tu sauras faire

• Tu sauras démontrer que trois points sont alignés en comparant des distances calculées à partir de leurs coordonnées.
• Tu sauras démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en comparant les coordonnées du milieu de ses deux diagonales.
• Tu sauras en déduire le parallélisme des côtés d'un quadrilatère à partir de sa nature de parallélogramme.

Les mots à connaître

Distance (entre deux points)

la longueur du segment qui relie ces deux points ; c'est toujours un nombre positif, ou nul si les deux points sont confondus.

Milieu (d'un segment)

le point qui partage un segment en deux segments de même longueur, à égale distance des deux extrémités.

Coordonnées (d'un point)

le couple de deux nombres (abscisse ; ordonnée) qui repère la position d'un point dans le plan de façon unique.

Le piège classique

Confondre la condition d'alignement (la somme des deux plus petites distances égale à la plus grande) avec l'égalité des trois distances entre elles, qui décrirait plutôt un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.

L'astuce

Pour un alignement, repère toujours d'abord la plus grande des trois distances avant d'additionner les deux autres : c'est elle qui sert de référence de comparaison.